ACM-2024-04-03

Jahrgang: 2024
Ausgabe: 04
Autor: Thomas Krüger
Programm: ACM-ABROLLKURVEN.LSP
Funktionalität: Zykloiden zeichnen
Format: LISP
Lauffähig ab: AutoCAD 2008
Befehle: SPIRO ZYKLO
Bezug: Online


Beschreibung
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Abgerollt

Der Spirograph ist ein geometrisches Spielzeug, der aus mehreren Zahnradscheiben und einem innenverzahnten 
Ring besteht. Beim Zeichen werden der innenverzahnte Ring oder eine Zahnradscheibe fest auf ein Blatt Papier 
gelegt. Ein weiteres Zahnrad wird dann an die Verzahnung des feststehenden Teils gelegt. Im beweglichen 
Zahnrad befinden sich in verschiedenen Abständen Löcher, durch die die Spitze eines Schreibgeräts gesteckt 
wird. Mit diesem wird dann das lose Zahnrad an dem feststehenden abgerollt, wodurch sich verschiedene 
geometrische Figuren, so genannte Hypozykloiden und Epizykloiden, abbilden.
Mathematisch betrachtet ist eine Zykloide die Bahn, die einen Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf 
einer Leitkurve, zum Beispiel einer Geraden, beschreibt. Eine verkürzte Zykloide entsteht, wenn die Bahn 
eines Punkts im Inneren des Kreises betrachtet wird. Eine verlängerte Zykloide setzt dagegen voraus, dass 
ein Punkt außerhalb des abrollenden Kreises sich mit dem Kreis mitbewegt. Ist die Leitkurve ein Kreis, 
bezeichnet man die entstehenden Bahnkurven Epizykloide, wenn der die Zykloide erzeugende Kreis außen auf 
dem Leitkreis abrollt. Die innen abrollenden Kreise sind die Hypozykloide.
Das hier vorgestellte Programm ACM-ABROLLKURVEN.LSP hat weniger praktische Bedeutung bei der täglichen 
Arbeit mit AutoCAD. Es dient eher der Demonstration des Verlaufs und zum Erzeugen solches durch Abrollen 
entstehender Bahnkurven.
Nach dem Laden der LISP-Datei in die aktuelle (hoffentlich leere) Zeichnung, stehen dem Anwender die Befehle 
SPIRO und ZYKLO zur Verfügung. ZYKLO erstellt Kurven, die beim Abrollen auf einer vom Anwender auszuwählenden 
Leitkurve entstehen. Die Leitkurve kann eine Linie, Polylinie, ein Bogen, ein Kreis, eine Ellipse oder ein 
Spline sein. Wichtig ist nur, dass alle Punkte der Kurve in der XY-Ebene des WKS liegen. 
Als weitere Parameter (vom Anwender einzugeben, die Bahnkurve beeinflussend), verlangt die Routine nach dem 
Abrollkreisradius die Koppellänge und den Koppelstartwinkel. (Ein negativer Radius wechselt auf die andere 
Seite der Leitkurve.) Weiterhin kann man angeben, wie genau und mit welcher Abtastdichte die Zykloide 
dargestellt werden, und ob eine Animation gewünscht wird. 
SPIRO erzeugt Kurven wie das Spielzeug Spirograph. Hier fungiert ein Kreis als Leitkurve. Erforderlich sind 
dafür die Eingabe von Leitkreismittelpunkt, Leitkreisradius, Abrollkreisradius und Koppellänge. Ein positiver 
Abrollkreisradius erzeugt dabei eine Hypozykloide, ein negativer eine Epizykloide. Ist das Verhältnis der 
beiden Kreisradien rational, entsteht eine geschlossene Bahnkurve. Vom Programm wird dazu die notwendige 
Anzahl Umläufe berechnet. Ansonsten lässt sich vom Anwender die maximale Anzahl der Umläufe begrenzen. 
Kurvengenauigkeit und Animation lassen sich wie beim Befehl ZYKLO wählen.